Urnen Wahrscheinlichkeit berechnen ohne Zurücklegen Beispiel

Aus dem Mathematik ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung jedem Schüler bekannt. Eine beliebte Aufgabe lautet, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine bestimmte Farbreihenfolge aus einer Urne zu ziehen, in welche die gezogenen Kugeln nicht wieder zurückgeworfen werden. Doch wie wird solch eine Rechnung aufgestellt?

Die Pfadregeln

Um Wahrscheinlichkeiten dieser Art zu berechnen, ist das Anwenden der Pfadregeln eine enorme Hilfestellung. Die erste Pfadregel lautet, dass entlang eines Pfades stets multipliziert wird. Die zweite Pfadregel hingegen besagt, dass addiert wird, sobald mit mehreren Pfaden gerechnet wird. Dies klingt komplizierter als es ist, was das folgende Beispiel veranschaulichen wird.

Das Beispiel: Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen ziehen

Um das Berechnen der Wahrscheinlichkeit zu verdeutlichen, stellen Sie sich vor, dass Sie eine Urne, in der 17 Kugeln drinnen sind, vor sich stehen haben. Von den 17 Kugeln sind 3 Kugeln pink, 4 Kugeln sind gelb und 10 Kugeln sind orange.

Um einen Überblick zu behalten, können Sie ein Baumdiagramm aufzeichnen. Im Schulunterricht wird in der Wahrscheinlichkeit sehr gerne mit Baumdiagrammen gearbeitet. Die Aufgabe lautet exemplarisch, mit welcher Wahrscheinlichkeit Sie zuerst eine pinke, dann eine gelbe und zum Schluss eine orange Kugel aus der Urne ziehen, wenn Sie keine Kugel wieder in die Urne zurücklegen.
Wichtig ist, dass Sie berücksichtigen, dass sich nach jedem Ziehen eine Kugel weniger in der Urne befindet.
Stellen Sie sich vor, Sie ziehen zuerst eine pinke Kugel.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies eintrifft?

Da zu Beginn noch 17 Kugeln in der Urne sind und 3 dieser Kugeln eine pinke Farbe aufweisen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine pinke Kugel zu ziehen, 3/17 = 3:17 = 0,1764 = 17,64 %.

Nachdem die pinke Kugel aus der Urne entnommen wurde, befinden sich noch 16 Kugeln in der Urne. Da Sie bereits eine pinke Kugel gezogen haben, befinden sich vor dem zweiten Zug noch 2 pinke Kugeln, 4 gelbe Kugeln und 10 orange Kugeln in der Urne.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nun eine gelbe Kugel zu ziehen?

Da 4 der 16 Kugeln gelb sind, besteht die Wahrscheinlichkeit zu 4/16, also zu 4:16 = 0,25 = 25 %.
Nun befinden sich noch 15 Kugeln in der Urne: 2 pinke Kugeln, 3 gelbe sowie 10 orange Kugeln.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie nun eine orange Kugel ziehen?

10/15, also 10:15= 0,6666 = 66,67 %, da noch 10 von 15 Kugeln in der Urne orange sind.
Möchten Sie nun berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, erst eine pinke, dann eine gelbe und zuletzt eine orange Kugel zu ziehen? Hierzu befolgen Sie die erste Pfadregel, welche lautet, dass Sie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren müssen. Folglich erhalten Sie die Rechnung (3:17) multipliziert mit (4:16) multipliziert mit (10:15). Berechnen Sie diese Aufgabe, erhalten Sie 0,0283, also 2,83 %.

Demnach besteht eine 2,83-prozentige Chance, dass Sie zuerst eine pinke, dann eine gelbe und dann eine orange Kugel ziehen, wenn Sie keine gezogene Kugel wieder in die Urne zurücklegen.

Das Fazit

Mithilfe eines Baumdiagrammes und den Pfadregeln ist es nicht schwer, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wenn keine Kugeln in die Urne zurückgelegt werden. Wichtig ist, dass Sie bedenken, nach jedem Zug die entsprechende Kugel von der Gesamtmenge, die sich nach dem Zug noch in der Urne befindet, abzuziehen.